一、请在图25-2上使用Johnson算法来找到所有结点对之间的最短路径。给出算法计算出的和值。如果要写代码，请用go语言。
chatgpt：
为了使用Johnson算法计算所有节点对之间的最短路径，我们需要完成以下几个步骤：
- 1. 构建图：将给定的图转换为包含所有边的邻接表或邻接矩阵形式。
- 2. 添加源节点：增加一个虚拟源节点，这个节点与图中所有其他节点连边。
- 3. 使用Bellman-Ford算法：计算虚拟源节点到所有其他节点的最短路径，以获得重新加权的权重。
- 4. 重加权图：根据Bellman-Ford的输出值调整图中所有边的权重。
- 5. 使用Dijkstra算法：对每个节点使用Dijkstra算法计算最短路径。
- 6. 恢复原始权重：将重加权后的路径转换回原始权重。
下面是Go语言实现Johnson算法的示例代码：
package main
import (
"fmt"
"math"
)
const INF = math.MaxInt64
type Edge struct {
u, v, w int
}
func bellmanFord(edges []Edge, n, src int) ([]int, bool) {
dist := make([]int, n)
for i := range dist {
dist[i] = INF
}
dist[src] = 0
for i := 0; i < n-1; i++ {
for _, edge := range edges {
if dist[edge.u] != INF && dist[edge.u]+edge.w < dist[edge.v] {
dist[edge.v] = dist[edge.u] + edge.w
}
}
}
for _, edge := range edges {
if dist[edge.u] != INF && dist[edge.u]+edge.w < dist[edge.v] {
return nil, false // 负权重环
}
}
return dist, true
}
func dijkstra(graph [][]int, n, src int) []int {
dist := make([]int, n)
for i := range dist {
dist[i] = INF
}
dist[src] = 0
visited := make([]bool, n)
for i := 0; i < n; i++ {
minDist := INF
u := -1
for j := 0; j < n; j++ {
if !visited[j] && dist[j] < minDist {
minDist = dist[j]
u = j
}
}
if u == -1 {
break // 所有节点都已访问
}
visited[u] = true
for v, w := range graph[u] {
if w != INF && dist[u]+w < dist[v] {
dist[v] = dist[u] + w
}
}
}
return dist
}
func johnsonAlgorithm(n int, edges []Edge) ([][]int, []int) {
// Step 1: Add virtual source node
newEdges := append(edges, Edge{u: n, v: 0, w: 0}) // 与新源连接的所有边
for i := 1; i < n; i++ {
newEdges = append(newEdges, Edge{u: n, v: i, w: 0})
}
// Step 2: Run Bellman-Ford to find h values
h, valid := bellmanFord(newEdges, n+1, n) // 从新源节点开始
if !valid {
fmt.Println("图中存在负权环")
return nil, nil
}
// Step 3: Create re-weighted graph
reweightedGraph := make([][]int, n)
for i := 0; i < n; i++ {
reweightedGraph[i] = make([]int, n)
for j := range reweightedGraph[i] {
reweightedGraph[i][j] = INF
}
}
for _, edge := range edges {
reweightedGraph[edge.u][edge.v] = edge.w + h[edge.u] - h[edge.v]
}
// Step 4: Run Dijkstra for each vertex
allPairsShortestPath := make([][]int, n)
for i := 0; i < n; i++ {
allPairsShortestPath[i] = dijkstra(reweightedGraph, n, i)
for v := 0; v < n; v++ {
if allPairsShortestPath[i][v] < INF {
// 恢复原始权重
allPairsShortestPath[i][v] += h[v] - h[i]
}
}
}
return allPairsShortestPath, h
}
func main() {
n := 5
edges := []Edge{
{0, 1, -1},
{0, 2, 4},
{1, 2, 3},
{1, 3, 2},
{1, 4, 2},
{3, 1, 1},
{3, 4, -1},
{4, 0, 2},
{4, 3, 3},
}
distances, h := johnsonAlgorithm(n, edges)
if distances != nil {
fmt.Println("各结点对之间的最短路径:")
for i := range distances {
for j := range distances[i] {
if distances[i][j] == INF {
fmt.Printf("从 %d 到 %d 的最短路径为: 无穷大\n", i, j)
} else {
fmt.Printf("从 %d 到 %d 的最短路径为: %d\n", i, j, distances[i][j])
}
}
}
fmt.Println("h 值:", h)
}
}代码说明：
- o Edge结构体用来表示边。
- o bellmanFord函数实现Bellman-Ford算法，计算从源节点的最短路径。
- o dijkstra函数实现Dijkstra算法，用于计算重加权图中从每个节点到其他节点的最短路径。
- o johnsonAlgorithm函数首先添加虚拟源节点，然后调用Bellman-Ford，接着重加权边，最后对每个节点使用Dijkstra计算最短路径。
- o main函数中定义了一个图并调用Johnson算法，并输出各节点对之间的最短路径和h值。
请根据需要调整输入数据和节点数n。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
deepseek：
Johnson算法通过重新赋予权重来消除负权边，从而允许使用Dijkstra算法找到所有结点对的最短路径。以下是算法的关键步骤和示例计算：
步骤说明：
- 1. 添加虚拟节点：引入新节点s，并添加从s到所有原节点的边，权重为0。
- 2. 计算调整权重h(v)：使用Bellman-Ford算法计算从s到所有节点的最短路径，结果记为h(v)。
- 3. 调整边权：对每条边(u, v)，计算新的权重^w(u, v) = w(u, v) + h(u) - h(v)，确保^w非负。
- 4. 运行Dijkstra：对每个节点使用调整后的权重^w运行Dijkstra，得到最短路径后恢复原始权重。
示例计算（假设图结构）：
假设图包含三个节点A、B、C，边如下：
- o A→B: 2
- o B→C: -1
- o C→A: 3
步骤1：Bellman-Ford计算h值
- o 初始化h值为0。
- o 松弛后得到h(A)=0, h(B)=0, h(C)=-1。
步骤2：计算调整后的权重^w：
- o A→B: 2 + 0 - 0 = 2
- o B→C: -1 + 0 - (-1) = 0
- o C→A: 3 + (-1) - 0 = 2
Go代码实现：
package main
import (
"container/heap"
"fmt"
"math"
)
type Edge struct {
to int
weight int
}
func Johnson(n int, edges [][]Edge) ([]int, [][]Edge, bool) {
// 添加虚拟节点0，连接到所有原节点（1~n）
augmentedEdges := make([][]Edge, n+1)
for i := 1; i <= n; i++ {
augmentedEdges[0] = append(augmentedEdges[0], Edge{i, 0})
}
for u := 1; u <= n; u++ {
augmentedEdges[u] = append(augmentedEdges[u], edges[u-1]...)
}
// 步骤1：Bellman-Ford计算h
h := make([]int, n+1)
for i := range h {
h[i] = math.MaxInt32
}
h[0] = 0
for i := 0; i < n; i++ { // 松弛n次
for u := 0; u <= n u if hu='= math.MaxInt32' continue for _ e :='range' augmentededgesu if he.to> h[u]+e.weight {
h[e.to] = h[u] + e.weight
}
}
}
}
// 检测负环
for u := 0; u <= n u for _ e :='range' augmentededgesu if he.to> h[u]+e.weight {
return nil, nil, false // 存在负环
}
}
}
// 步骤2：调整权重
adjustedEdges := make([][]Edge, n)
for u := 0; u < n; u++ {
for _, e := range edges[u] {
v := e.to - 1 // 原节点从0开始
w := e.weight + h[u+1] - h[v+1]
if w < 0 {
panic("调整后的权重不应为负")
}
adjustedEdges[u] = append(adjustedEdges[u], Edge{v, w})
}
}
return h[1:], adjustedEdges, true
}
// Dijkstra优先队列实现
type Item struct {
node int
dist int
index int
}
type PriorityQueue []*Item
func (pq PriorityQueue) Len() int { return len(pq) }
func (pq PriorityQueue) Less(i, j int) bool { return pq[i].dist < pqj.dist func pq priorityqueue swapi j int pqi pqj='pq[j],' pqi pqi.index='i' pqj.index='j' func pq priorityqueue pushx interface item :='x.(*Item)' item.index='len(*pq)' pq='append(*pq,' item func pq priorityqueue pop interface old :='*pq' n :='len(old)' item :='old[n-1]' oldn-1='nil' item.index='-1' pq='old[:n-1]' return item func dijkstran start int adj edge int dist :='make([]int,' n for i :='range' dist disti='math.MaxInt32' diststart='0' pq :='make(PriorityQueue,' 0 heap.pushpq itemstart 0 0 for pq.len> 0 {
item := heap.Pop(&pq).(*Item)
u := item.node
if dist[u] < item.dist continue for _ e :='range' adju v :='e.to' if distv> dist[u]+e.weight {
dist[v] = dist[u] + e.weight
heap.Push(&pq, &Item{v, dist[v], 0})
}
}
}
return dist
}
func main() {
n := 3
edges := [][]Edge{
{{1, 2}}, // A->B
{{2, -1}}, // B->C
{{0, 3}}, // C->A
}
h, adjustedEdges, ok := Johnson(n, edges)
if !ok {
fmt.Println("存在负权环")
return
}
fmt.Println("h值:", h)
fmt.Println("调整后的边权:")
for u := range adjustedEdges {
for _, e := range adjustedEdges[u] {
fmt.Printf("%d->%d: %d\n", u, e.to, e.weight)
}
}
}输出解释：
- o h值：基于虚拟节点计算的最短路径权重，如示例中的[0, 0, -1]。
- o 调整后的权重^w：所有边权为非负数，例如A→B调整为2，B→C为0，C→A为2。
该代码实现了Johnson算法，计算h值和调整后的权重，并验证无负权环后输出结果。
通义千问：
要使用Johnson算法来找到图中所有节点对之间的最短路径，我们首先需要了解Johnson算法的基本步骤。Johnson算法是一种用于寻找加权有向图中所有节点对之间最短路径的算法。它结合了Bellman-Ford算法和Dijkstra算法的优点，能够有效地处理边权重可以为负的情况，但不允许存在负权重环。
Johnson算法的主要步骤如下：
- 1. 添加一个新的起点：向图中添加一个新节点（称为源节点），并从这个新节点到图中的每个原有节点添加一条权重为0的边。
- 2. 运行Bellman-Ford算法：从新增的源节点出发运行Bellman-Ford算法，计算出每个节点的值，即从新增源节点到的最短路径长度。这一步还可以检测图中是否存在负权重环。
- 3. 重新加权：对于原图中的每条边，计算新的权重。这样做的目的是消除图中的负权重边。
- 4. 移除新增节点及其关联边：删除第一步中添加的新节点及所有与之相连的边。
- 5. 对每个节点运行Dijkstra算法：在重新加权后的图上，以每个节点作为起点分别运行Dijkstra算法，找出该起点至其他所有节点的最短路径。
由于您提到的是“图25-2”，但是没有提供具体的图信息或数据，因此无法直接给出针对该特定图的值和值。不过，我可以提供一个基于上述步骤的Go语言代码框架，您可以根据实际情况填充图的数据。
package main
import (
"container/heap"
"fmt"
)
type Edge struct {
to, weight int
}
type Graph map[int][]Edge
func BellmanFord(graph Graph, source int) []int {
dist := make([]int, len(graph))
for i := range dist {
dist[i] = 1<<31 - 1 // Initialize distances to infinity
}
dist[source] = 0
for i := 1; i < len(graph); i++ {
for u, edges := range graph {
for _, edge := range edges {
if dist[u] != 1<<31-1 && dist[u]+edge.weight < dist[edge.to] {
dist[edge.to] = dist[u] + edge.weight
}
}
}
}
return dist
}
// Dijkstra's algorithm implementation goes here...
func Johnson(graph Graph) {
// Add a new source node and run Bellman-Ford...
h := BellmanFord(graph, /* your new source node */)
// Re-weight the graph...
// Implement the re-weighting logic based on h values
// Remove the added source node and its edges...
// Run Dijkstra for each node as source in the modified graph...
}
func main() {
graph := make(Graph)
// Fill in your graph data here...
Johnson(graph)
}请注意，此代码仅提供了一个框架，您需要根据具体问题调整细节，例如如何表示图、如何实现Dijkstra算法等。此外，您还需要根据实际图的数据来计算具体的和值。
豆包：
Johnson算法概述
Johnson算法用于在一个带权有向图中找到所有结点对之间的最短路径，即使图中存在负权边，但不能有负权回路。该算法结合了Bellman - Ford算法和Dijkstra算法，主要步骤如下：
- 1. 添加虚拟结点：在图中添加一个虚拟结点 ，并从 到图中每个结点添加一条权值为 0 的边。
- 2. 运行Bellman - Ford算法：以虚拟结点 为源点，运行Bellman - Ford算法，检测图中是否存在负权回路。如果存在负权回路，则算法终止；否则，得到每个结点 到源点 的最短路径距离 。
- 3. 重新赋权：对于图中的每条边 ，计算新的权值 ，其中 是原边的权值。
- 4. 运行Dijkstra算法：对图中每个结点 ，以 为源点，使用Dijkstra算法计算到其他所有结点的最短路径。
- 5. 恢复最短路径长度：对于每个结点对 ，将Dijkstra算法得到的最短路径长度 恢复为原图中的最短路径长度 。
Go语言实现
package main
import (
"container/heap"
"fmt"
"math"
)
// Edge 表示图中的边
type Edge struct {
to int
weight int
}
// Graph 表示图
type Graph struct {
vertices int
adj [][]Edge
}
// NewGraph 创建一个新的图
func NewGraph(vertices int) *Graph {
return &Graph{
vertices: vertices,
adj: make([][]Edge, vertices),
}
}
// AddEdge 添加一条边到图中
func (g *Graph) AddEdge(u, v, weight int) {
g.adj[u] = append(g.adj[u], Edge{to: v, weight: weight})
}
// BellmanFord 实现Bellman - Ford算法
func (g *Graph) BellmanFord(source int) ([]int, bool) {
dist := make([]int, g.vertices)
for i := range dist {
dist[i] = math.MaxInt32
}
dist[source] = 0
for i := 0; i < g.vertices-1; i++ {
for u := 0; u < g.vertices; u++ {
for _, edge := range g.adj[u] {
v := edge.to
weight := edge.weight
if dist[u] != math.MaxInt32 && dist[u]+weight < dist[v] {
dist[v] = dist[u] + weight
}
}
}
}
// 检测负权回路
for u := 0; u < g.vertices; u++ {
for _, edge := range g.adj[u] {
v := edge.to
weight := edge.weight
if dist[u] != math.MaxInt32 && dist[u]+weight < dist[v] {
return nil, false
}
}
}
return dist, true
}
// Item 用于优先队列
type Item struct {
value int
priority int
index int
}
// PriorityQueue 实现优先队列
type PriorityQueue []*Item
func (pq PriorityQueue) Len() int { return len(pq) }
func (pq PriorityQueue) Less(i, j int) bool {
return pq[i].priority < pqj.priority func pq priorityqueue swapi j int pqi pqj='pq[j],' pqi pqi.index='i' pqj.index='j' func pq priorityqueue pushx interface n :='len(*pq)' item :='x.(*Item)' item.index='n' pq='append(*pq,' item func pq priorityqueue pop interface old :='*pq' n :='len(old)' item :='old[n-1]' oldn-1='nil' item.index='-1' pq='old[0' : n-1 return item dijkstra dijkstra func g graph dijkstrasource int h int int dist :='make([]int,' g.vertices for i :='range' dist disti='math.MaxInt32' distsource='0' pq :='make(PriorityQueue,' 0 heap.initpq heap.pushpq itemvalue: source priority: 0 for pq.len> 0 {
u := heap.Pop(&pq).(*Item).value
for _, edge := range g.adj[u] {
v := edge.to
weight := edge.weight + h[u] - h[v]
if dist[u] != math.MaxInt32 && dist[u]+weight < dist[v] {
dist[v] = dist[u] + weight
heap.Push(&pq, &Item{value: v, priority: dist[v]})
}
}
}
return dist
}
// Johnson 实现Johnson算法
func (g *Graph) Johnson() ([][]int, []int, [][]int, bool) {
// 添加虚拟结点
newGraph := NewGraph(g.vertices + 1)
for u := 0; u < g.vertices; u++ {
for _, edge := range g.adj[u] {
newGraph.AddEdge(u, edge.to, edge.weight)
}
newGraph.AddEdge(g.vertices, u, 0)
}
// 运行Bellman - Ford算法
h, ok := newGraph.BellmanFord(g.vertices)
if!ok {
return nil, nil, nil, false
}
h = h[:g.vertices]
// 重新赋权
weightPrime := make([][]int, g.vertices)
for u := 0; u < g.vertices; u++ {
weightPrime[u] = make([]int, g.vertices)
for _, edge := range g.adj[u] {
v := edge.to
weightPrime[u][v] = edge.weight + h[u] - h[v]
}
}
// 运行Dijkstra算法
dist := make([][]int, g.vertices)
for u := 0; u < g.vertices; u++ {
dist[u] = g.Dijkstra(u, h)
// 恢复最短路径长度
for v := 0; v < g.vertices; v++ {
if dist[u][v] != math.MaxInt32 {
dist[u][v] -= h[u] - h[v]
}
}
}
return dist, h, weightPrime, true
}
func main() {
// 这里需要根据图25 - 2的具体信息创建图
// 假设图有4个结点
g := NewGraph(4)
// 添加边，这里需要替换为图25 - 2的实际边信息
g.AddEdge(0, 1, 1)
g.AddEdge(1, 2, -2)
g.AddEdge(2, 3, 3)
g.AddEdge(3, 0, -4)
dist, h, weightPrime, ok := g.Johnson()
if!ok {
fmt.Println("图中存在负权回路")
return
}
fmt.Println("h值:")
fmt.Println(h)
fmt.Println("重新赋权后的权值 w':")
for u := 0; u < g.vertices; u++ {
for v := 0; v < g.vertices; v++ {
if weightPrime[u][v] != 0 {
fmt.Printf("w'(%d, %d) = %d\n", u, v, weightPrime[u][v])
}
}
}
fmt.Println("所有结点对之间的最短路径长度:")
for u := 0; u < g.vertices; u++ {
for v := 0; v < g.vertices; v++ {
if dist[u][v] != math.MaxInt32 {
fmt.Printf("d(%d, %d) = %d\n", u, v, dist[u][v])
}
}
}
}代码解释
- 1. Graph结构体：表示图，包含结点数和邻接表。
- 2. AddEdge方法：用于向图中添加边。
- 3. BellmanFord方法：实现Bellman - Ford算法，检测图中是否存在负权回路，并计算每个结点到源点的最短路径距离 。
- 4. Dijkstra方法：实现Dijkstra算法，计算从源点到其他所有结点的最短路径。
- 5. Johnson方法：实现Johnson算法的主要逻辑，包括添加虚拟结点、运行Bellman - Ford算法、重新赋权、运行Dijkstra算法和恢复最短路径长度。
- 6. main函数：创建图，调用Johnson方法，并输出 值、重新赋权后的权值 和所有结点对之间的最短路径长度。
注意事项
- o 在 main 函数中，需要根据图25 - 2的具体信息创建图并添加边。
- o 如果图中存在负权回路，程序将输出提示信息并终止。
文心一言：
Johnson算法是一种用于计算所有结点对之间最短路径的算法，它适用于带负权重的图，但不允许有负权重环。算法的基本思想是使用Bellman-Ford算法预处理每个结点，然后应用Dijkstra算法来计算最短路径。
下面是使用Go语言实现Johnson算法的代码，并在最后给出计算出的值和值。
假设图25-2是一个如下的加权有向图：
A -2-> B
A 1-> C
B 4-> C
B 2-> D
C 1-> D
D 3-> C下面是Go语言的实现：
package main
import (
"container/heap"
"fmt"
"math"
)
// Edge represents an edge in the graph
type Edge struct {
to, weight int
}
// Graph represents a weighted directed graph
type Graph struct {
vertices int
edges [][]Edge
}
// NewGraph creates a new graph with the given number of vertices
func NewGraph(vertices int) *Graph {
return &Graph{vertices: vertices, edges: make([][]Edge, vertices)}
}
// AddEdge adds an edge to the graph
func (g *Graph) AddEdge(from, to, weight int) {
g.edges[from] = append(g.edges[from], Edge{to, weight})
}
// PriorityQueueItem represents an item in the priority queue
type PriorityQueueItem struct {
vertex, distance int
index int
}
// PriorityQueue implements heap.Interface and holds PriorityQueueItems
type PriorityQueue []*PriorityQueueItem
func (pq PriorityQueue) Len() int { return len(pq) }
func (pq PriorityQueue) Less(i, j int) bool {
return pq[i].distance < pq[j].distance
}
func (pq PriorityQueue) Swap(i, j int) {
pq[i], pq[j] = pq[j], pq[i]
pq[i].index = i
pq[j].index = j
}
func (pq *PriorityQueue) Push(x interface{}) {
n := len(*pq)
item := x.(*PriorityQueueItem)
item.index = n
*pq = append(*pq, item)
}
func (pq *PriorityQueue) Pop() interface{} {
old := *pq
n := len(old)
item := old[n-1]
old[n-1] = nil // avoid memory leak
item.index = -1 // for safety
*pq = old[0 : n-1]
return item
}
// johnson implements the Johnson's algorithm to find all-pairs shortest paths
func (g *Graph) johnson() ([]int, [][]int) {
h := make([]int, g.vertices)
for i := range h {
h[i] = math.MaxInt32
}
// Create a new graph with an additional vertex
newGraph := NewGraph(g.vertices + 1)
for i := 0; i < g.vertices; i++ {
for _, edge := range g.edges[i] {
newGraph.AddEdge(i, edge.to, edge.weight)
}
newGraph.AddEdge(g.vertices, i, 0)
newGraph.edges[i] = append(newGraph.edges[i], Edge{g.vertices, 0})
}
// Run Bellman-Ford from the new vertex
distances := make([]int, g.vertices+1)
for i := range distances {
distances[i] = math.MaxInt32
}
distances[g.vertices] = 0
for i := 0; i < g.vertices; i++ {
for v := 0; v <= g.vertices v if distancesv='= math.MaxInt32)' continue for _ edge :='range' newgraph.edgesv if distancesedge.to> distances[v]+edge.weight {
distances[edge.to] = distances[v] + edge.weight
}
}
}
}
// Check for negative weight cycles
for i := 0; i < g.vertices; i++ {
if distances[i] == math.MaxInt32 {
fmt.Println("Graph contains a negative weight cycle")
return nil, nil
}
}
// Compute the h values
for i := 0; i < g.vertices; i++ {
h[i] = -distances[i]
}
// Recompute shortest paths using Dijkstra
allPairs := make([][]int, g.vertices)
for i := range allPairs {
allPairs[i] = make([]int, g.vertices)
for j := range allPairs[i] {
allPairs[i][j] = math.MaxInt32
}
allPairs[i][i] = 0
}
for i := 0; i < g.vertices i pq :='make(PriorityQueue,' 0 g.vertices heap.initpq heap.pushpq priorityqueueitemvertex: i distance: 0 distances :='make([]int,' g.vertices for j :='range' distances distancesj='math.MaxInt32' distancesi='0' for pq.len> 0 {
item := heap.Pop(&pq).(*PriorityQueueItem)
u := item.vertex
if distances[u] > item.distance {
continue
}
for _, edge := range g.edges[u] {
alt := distances[u] + edge.weight + h[u] - h[edge.to]
if alt < distances[edge.to] {
distances[edge.to] = alt
heap.Push(&pq, &PriorityQueueItem{vertex: edge.to, distance: alt})
}
}
}
for j := 0; j < g.vertices; j++ {
allPairs[i][j] = distances[j] + h[j] - h[i]
}
}
return h, allPairs
}
func main() {
g := NewGraph(5)
g.AddEdge(0, 1, -2)
g.AddEdge(0, 2, 1)
g.AddEdge(1, 2, 4)
g.AddEdge(1, 3, 2)
g.AddEdge(2, 3, 1)
g.AddEdge(3, 2, 3)
h, allPairs := g.johnson()
fmt.Println("h values:", h)
fmt.Println("All-pairs shortest paths:")
for i, row := range allPairs {
for j, dist := range row {
if dist == math.MaxInt32 {
fmt.Printf("∞ ")
} else {
fmt.Printf("%d ", dist)
}
}
fmt.Println()
}
}结果解释：
- 1. h值：这些值是Bellman-Ford算法计算出来的从超级源点到每个结点的最短路径距离取反。
- 2. 值：这些值是重新计算的最短路径长度，基于h值修正的权重。
运行代码后，你会得到所有结点对之间的最短路径长度以及h值。注意，如果图包含负权重环，代码会输出提示信息。
在上面的例子中，图没有负权重环，因此算法会成功输出所有结点对之间的最短路径。
讯飞星火：
Johnson算法是一种用于计算加权有向图中所有节点对之间最短路径的算法。它的时间复杂度为O(V^2 log V + VE)，其中V是顶点数，E是边数。
为了使用Johnson算法，我们需要以下步骤：
- 1. 添加一个虚拟源点s，并从s到所有其他顶点的边权重设为0。
- 2. 使用Bellman-Ford算法计算从虚拟源点s到所有其他顶点的最短路径，得到h值。
- 3. 重新定义边的权重：对于每条边(u, v)，新的权重w'(u, v) = w(u, v) + h(u) - h(v)。
- 4. 使用Dijkstra算法计算从每个顶点出发到所有其他顶点的最短路径，得到值。
- 5. 最后，通过公式d(u, v) = 恢复原始图中的最短路径。
假设我们有一个图如图25-2所示，我们可以使用Go语言实现Johnson算法。以下是代码示例：
package main
import (
"fmt"
"math"
)
const INF = math.MaxFloat64
type Edge struct {
from, to int
weight float64
}
type Graph struct {
vertices int
edges []Edge
}
func NewGraph(vertices int) *Graph {
return &Graph{vertices: vertices}
}
func (g *Graph) AddEdge(from, to int, weight float64) {
g.edges = append(g.edges, Edge{from, to, weight})
}
func BellmanFord(g *Graph, src int) ([]float64, bool) {
dist := make([]float64, g.vertices)
for i := range dist {
dist[i] = INF
}
dist[src] = 0
for i := 0; i < g.vertices-1; i++ {
for _, edge := range g.edges {
if dist[edge.from] != INF && dist[edge.from]+edge.weight < dist[edge.to] {
dist[edge.to] = dist[edge.from] + edge.weight
}
}
}
for _, edge := range g.edges {
if dist[edge.from] != INF && dist[edge.from]+edge.weight < dist[edge.to] {
return nil, false // Negative cycle detected
}
}
return dist, true
}
func Dijkstra(g *Graph, src int) []float64 {
dist := make([]float64, g.vertices)
visited := make([]bool, g.vertices)
for i := range dist {
dist[i] = INF
}
dist[src] = 0
for i := 0; i < g.vertices; i++ {
u := -1
for v := 0; v < g.vertices; v++ {
if !visited[v] && (u == -1 || dist[v] < dist[u]) {
u = v
}
}
visited[u] = true
for _, edge := range g.edges {
if edge.from == u && dist[u]+edge.weight < dist[edge.to] {
dist[edge.to] = dist[u] + edge.weight
}
}
}
return dist
}
func Johnson(g *Graph) ([][]float64, []float64) {
// Step 1: Add a virtual source node and edges with zero weight from it to all other nodes
g.AddEdge(g.vertices, g.vertices+1, 0)
for i := 0; i < g.vertices; i++ {
g.AddEdge(g.vertices+1, i, 0)
}
// Step 2: Run Bellman-Ford from the virtual source node to get h values
h, ok := BellmanFord(g, g.vertices+1)
if !ok {
fmt.Println("Graph contains a negative weight cycle")
return nil, nil
}
// Step 3: Reweight the graph using h values
reweightedEdges := make([]Edge, len(g.edges))
copy(reweightedEdges, g.edges)
for i := range reweightedEdges {
reweightedEdges[i].weight += h[reweightedEdges[i].from] - h[reweightedEdges[i].to]
}
// Create a new graph with reweighted edges
newG := NewGraph(g.vertices)
newG.edges = reweightedEdges
// Step 4: Run Dijkstra for each node to get shortest paths in the reweighted graph
allPairShortestPaths := make([][]float64, g.vertices)
for i := 0; i < g.vertices; i++ {
allPairShortestPaths[i] = Dijkstra(newG, i)
}
// Step 5: Restore the original distances using h values
originalDistances := make([][]float64, g.vertices)
for i := 0; i < g.vertices; i++ {
originalDistances[i] = make([]float64, g.vertices)
for j := 0; j < g.vertices; j++ {
originalDistances[i][j] = allPairShortestPaths[i][j] + h[j] - h[i]
}
}
return originalDistances, h
}
func main() {
// Example usage: create a graph and add edges as per your specific graph structure
g := NewGraph(5) // Assuming there are 5 nodes in the graph
g.AddEdge(0, 1, 3)
g.AddEdge(0, 2, 8)
g.AddEdge(1, 2, 1)
g.AddEdge(1, 3, 7)
g.AddEdge(2, 3, 4)
g.AddEdge(3, 4, 2)
distances, h := Johnson(g)
fmt.Println("All pairs shortest paths:")
for i := range distances {
fmt.Printf("%v\n", distances[i])
}
fmt.Println("h values:", h)
}在这个代码中，我们首先创建了一个包含5个节点的图，并添加了一些边。然后我们调用Johnson函数来计算所有节点对之间的最短路径以及h值。最后，我们打印出所有节点对之间的最短路径和h值。
360智脑：
为了使用Johnson算法找到图中所有节点对之间的最短路径，我们首先需要理解Johnson算法的基本步骤。Johnson算法结合了Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，适用于有向图，可以处理负权重边（但不允许存在负权重环）。以下是Johnson算法的主要步骤：
- 1. 添加一个新源点：给原图增加一个新的源点，并从这个新源点到每个顶点都添加一条权重为0的边。
- 2. 运行Bellman-Ford算法：从新增加的源点开始运行Bellman-Ford算法，以检测是否存在负权重环，并计算每个顶点的最短路径估计值。
- 3. 重赋权：利用步骤2中得到的值重新定义每条边的权重。
- 4. 运行Dijkstra算法：对于每个顶点作为起点，使用新的权重运行Dijkstra算法来找到从该顶点到其他所有顶点的最短路径。
- 5. 恢复原始路径长度：将通过Dijkstra算法得到的最短路径长度转换回原始图中的路径长度。
假设图25-2是一个具体的例子，但由于这里没有提供具体的图数据，我将构造一个简单的例子来进行说明。我们将创建一个包含4个节点的简单图，其中包含一些正权重和负权重的边。
示例图
设有一个图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4}，E={(1,2,3), (1,3,8), (2,3,-7), (2,4,1), (3,4,4)}，这里的每条边后面跟着的是边的权重。
Go语言实现
package main
import (
"fmt"
"math"
)
type Edge struct {
from int
to int
weight float64
}
func main() {
edges := []Edge{
{1, 2, 3},
{1, 3, 8},
{2, 3, -7},
{2, 4, 1},
{3, 4, 4},
}
n := 4 // 节点数量
// Step 1 & 2: Add a new source and run Bellman-Ford
h := bellmanFord(n+1, append(edges, Edge{0, 1, 0}, Edge{0, 2, 0}, Edge{0, 3, 0}, Edge{0, 4, 0}))
// Step 3: Re-weight the edges
newEdges := make([]Edge, len(edges))
for i, e := range edges {
newEdges[i] = Edge{e.from, e.to, e.weight + h[e.from] - h[e.to]}
}
// Step 4: Run Dijkstra for each vertex
dist := make([][]float64, n)
for i := range dist {
dist[i] = dijkstra(n, newEdges, i+1)
}
// Step 5: Restore original path lengths
for i := range dist {
for j := range dist[i] {
if !math.IsInf(dist[i][j], 0) {
dist[i][j] -= h[i+1] - h[j+1]
}
}
}
fmt.Println("Shortest paths between all pairs of vertices:")
for i := range dist {
fmt.Printf("From %d: %v\n", i+1, dist[i])
}
}
func bellmanFord(n int, edges []Edge) []float64 {
dist := make([]float64, n)
for i := range dist {
dist[i] = math.Inf(1)
}
dist[0] = 0
for i := 0; i < n-1; i++ {
for _, e := range edges {
if dist[e.from]+e.weight < dist[e.to] {
dist[e.to] = dist[e.from] + e.weight
}
}
}
return dist[1:]
}
func dijkstra(n int, edges []Edge, start int) []float64 {
dist := make([]float64, n)
for i := range dist {
dist[i] = math.Inf(1)
}
dist[start-1] = 0
unvisited := make(map[int]bool)
for i := 1; i <= n i unvisitedi='true' for lenunvisited> 0 {
current := minDistance(dist, unvisited)
delete(unvisited, current)
for _, e := range edges {
if e.from == current && unvisited[e.to] && dist[current]+e.weight < dist[e.to] {
dist[e.to] = dist[current] + e.weight
}
}
}
return dist
}
func minDistance(dist []float64, unvisited map[int]bool) int {
minDist := math.Inf(1)
var minIndex int
for v := range unvisited {
if dist[v-1] < minDist {
minDist = dist[v-1]
minIndex = v
}
}
return minIndex
}这段代码实现了上述的Johnson算法流程，包括添加新源点、运行Bellman-Ford算法、重赋权、多次运行Dijkstra算法以及最后的结果调整。请注意，实际应用时需要根据具体问题调整输入数据格式。
智谱清言：
由于我无法直接查看或访问外部图像，如“图25-2”，因此我无法直接在图上应用Johnson算法。但我可以提供一个Go语言的实现框架，用于执行Johnson算法来找到所有结点对之间的最短路径。
Johnson算法是一种用于计算带权图中所有结点对之间最短路径的算法。它结合了Bellman-Ford算法和Dijkstra算法的优点。以下是Johnson算法的步骤，以及如何用Go语言实现它的大致框架：
- 1. 为图添加一个新的顶点，并连接这个新顶点与图中的所有其他顶点，权重设为0。
- 2. 使用Bellman-Ford算法计算从新顶点出发到所有其他顶点的最短路径。如果图中存在负权重循环，则算法终止。
- 3. 使用Bellman-Ford算法的结果来调整图中所有边的权重，使得所有权重都变为非负。
- 4. 对图中的每个顶点使用Dijkstra算法来计算最短路径。
- 5. 使用调整后的权重来恢复原始的最短路径长度。
以下是Go语言实现Johnson算法的代码框架：
package main
import (
"fmt"
"math"
)
type Edge struct {
from int
to int
weight int
}
func bellmanFord(graph []*Edge, n, source int) ([]int, bool) {
dist := make([]int, n)
for i := range dist {
dist[i] = math.MaxInt32
}
dist[source] = 0
for i := 0; i < n-1; i++ {
for _, edge := range graph {
if dist[edge.from] != math.MaxInt32 && dist[edge.from]+edge.weight < dist[edge.to] {
dist[edge.to] = dist[edge.from] + edge.weight
}
}
}
// Check for negative-weight cycles
for _, edge := range graph {
if dist[edge.from] != math.MaxInt32 && dist[edge.from]+edge.weight < distedge.to return nil false negative-weight cycle detected return dist true func dijkstragraph edge n source int int dist :='make([]int,' n for i :='range' dist disti='math.MaxInt32' distsource='0' pq :='make(PriorityQueue,' 1 pq0='&Item{vertex:' source priority: 0 heap.initpq for pq.len> 0 {
item := heap.Pop(&pq).(*Item)
u := item.vertex
for _, edge := range graph {
if edge.from == u && dist[u]+edge.weight < dist[edge.to] {
dist[edge.to] = dist[u] + edge.weight
heap.Push(&pq, &Item{vertex: edge.to, priority: dist[edge.to]})
}
}
}
return dist
}
// Implement the rest of the Johnson algorithm using the bellmanFord and dijkstra functions
// ...
func main() {
// Initialize your graph and call the johnson function
// ...
}在上面的代码中，Edge 结构体代表图中的边，bellmanFord 函数实现了Bellman-Ford算法，dijkstra 函数实现了Dijkstra算法。你需要实现一个优先队列（通常使用最小堆）来支持Dijkstra算法，并且需要完成Johnson算法的剩余部分，包括调整权重和恢复最短路径长度。
请注意，这个代码框架不完整，你需要根据你的具体图结构和Johnson算法的详细步骤来完成它。由于Go语言标准库中没有直接支持优先队列的数据结构，你可能需要自己实现一个或者使用第三方库。
天工：
嗯，我现在需要解决的是在图25-2上应用Johnson算法找到所有节点对之间的最短路径，并且计算出h和^w值。首先，我得回忆一下Johnson算法的步骤，确保自己没有记错。
首先，Johnson算法主要用于处理带有负权重边的图中的所有节点对最短路径问题。它的核心思想是通过重新赋予权重来消除负权边，然后使用Dijkstra算法，这样比多次使用Bellman-Ford更高效。那具体步骤是什么呢？应该分为三个主要部分吧：添加新节点、用Bellman-Ford计算h值、调整权重，最后用Dijkstra计算所有节点对。
首先，我需要确定原图的结构。题目提到的是图25-2，但这里没有图，所以我得假设一个可能的图结构，或者可能这是一个常见的例子？比如，可能是一个包含负权边但不含负权环的有向图。或者可能用户之前提到的某个图的结构。不过因为没有图的具体信息，可能需要假设或者询问用户。但用户可能希望我以假设的图为例来演示过程，或者可能我之前提到的某个图？比如，可能之前的问题中的图？
假设原图可能存在负权边，所以Johnson算法适用。比如，假设有一个图包含节点1、2、3，或者其他节点。例如，可能的边包括（假设的）：
比如，假设图中有三个节点：A、B、C。边的情况可能有：A→B权值2，B→C权值-1，A→C权值3。或者可能有其他结构。不过为了具体说明，我需要构造一个例子，或者用户可能给出过图的结构？
或者，可能图的结构如：节点为1、2、3、4，边的情况比如，1→2（3），1→3（-2），2→4（-1），3→2（4），等等。但因为没有具体信息，可能需要假设。
或者，或许用户希望我给出Johnson算法的通用步骤，然后针对一个示例图进行计算？比如，假设一个具体的图，然后应用算法步骤，给出h和^w值，并说明如何计算？
比如，假设原图如下：
节点集合为V={1,2,3}，边的集合为：
1→2，权值3；
2→3，权值-4；
3→1，权值2；
1→3，权值7。
那么，按照Johnson算法的步骤：
- 1. 添加一个新节点s，该节点到所有原节点的边权为0。此时，s到1、s到2、s到3的边权都是0。
- 2. 使用Bellman-Ford算法计算从s出发到各原节点的最短路径距离，这些距离即为h(v)。这一步需要确保图中没有负权环，否则无法应用。
假设运行Bellman-Ford后得到h(1)=0，h(2)=3，h(3)=-1。可能吗？比如，假设s到1的最短路径是0（直接边），s到2的最短路径是s→1→2，权0+3=3。s到3的最短路径可以是s→1→2→3，总权0+3+(-4)= -1？或者可能其他路径？
- 3. 调整各边的权值，新的权值^w(u→v)=w(u→v)+h(u)-h(v)。这样确保所有边的权非负，从而可以使用Dijkstra算法。
例如，原边1→2的权是3，调整后是3 + h(1)-h(2) = 3 +0-3=0。原边2→3的权是-4，调整后是-4 +3 - (-1) =-4+4=0。原边3→1的权是2，调整后是2 + (-1) -0=1。原边1→3的权7，调整后是7+0-(-1)=8。
然后，对于调整后的图，每个边的^w都是非负的，这样对每个节点运行Dijkstra算法，得到最短路径，之后再调整回原权值。
但这个过程是否正确？例如，原来的边权可能存在负值，调整后应该非负。例如，原边2→3的权-4，调整后的^w是-4 +3（h(2)） - (-1)（h(3)）= -4+3+1=0。是的，非负。这样所有边都非负，所以可以运行Dijkstra。
那么h的值为每个原节点的h(v)，即由Bellman-Ford计算得到的从s出发的最短路径。
现在问题是我需要具体应用到一个假设的图，或者可能用户提供的图的结构没有给出？这里可能存在问题，因为用户的问题中提到的是图25-2，可能是在某个教材或资料中的图，但在这里没有给出具体结构。所以，如果没有具体的图，我的回答可能不正确。或者可能用户希望我给出算法的步骤，然后给出如何计算h和^w的示例？
比如，可能用户希望我写出Johnson算法的步骤，并说明h的计算方式，以及如何调整权重得到^w，并给出一个例子。同时，可能还需要用Go语言编写代码实现这一过程？
如果是这样的话，我需要先描述Johnson算法的步骤，然后假设一个具体的图结构，并展示计算过程。然后给出对应的Go代码。
例如，假设图的结构如下（假设的）：
节点：0, 1, 2
边：
0→1，权-5
0→2，权2
1→2，权3
2→1，权1
那么Johnson算法的步骤：
- 1. 添加新节点s（比如节点3），并添加s到0、1、2的边，权0。
- 2. 运行Bellman-Ford从s出发，得到h值。
假设Bellman-Ford处理后得到的h值为：
h = 0（因为s→0的边权0）
h：可能通过s→0→1，权0+(-5)= -5；或者s→0→2→1，权0+2+1=3。但取最小的，所以h =-5？
但Bellman-Ford处理是否存在问题？例如，如果存在负权环的话，但这里这个图中是否有负权环？要看结构。比如，0→1的权是-5，1→2的权3，2→1的权1。那么是否存在环？
比如，路径1→2→1的权是3+1=4，不是负的。环0→1→2→0？可能没有这样的边。所以没有负权环。所以Bellman-Ford可以处理。
运行Bellman-Ford：
初始化h[s]=0，其他h[v]=无穷大。但此时s是新节点，原节点是0、1、2。所以s到各节点的距离：
初始化h[s]=0，h=h=h=INF.
然后，松弛边s→0（权0），所以h=0.
同样，松弛s→1，h=0；s→2，h=0？或者原图中的新节点s到原节点0、1、2的边权是0？
是的，按照Johnson算法的步骤，添加新节点s，并且s到每个原节点v的边权为0。所以，对于每个原节点v，存在边s→v，权0.
运行Bellman-Ford算法，计算从s到每个原节点的最短路径。
那么，第一次对所有边进行松弛：
原图的边包括原图中的所有边和新添加的边。
现在，这里的原边是原图的边，加上新添加的s到各原节点的边。例如，边列表包括：
s→0 (0), s→1 (0), s→2 (0), 0→1 (-5), 0→2 (2), 1→2 (3), 2→1 (1).
运行Bellman-Ford算法，起始点是s。节点数为4个（s,0,1,2），所以需要运行V-1=3次松弛。
初始化：
distance[s] =0，其他节点为INF.
第一轮松弛所有边：
处理s→0，distance = min(INF, 0+0)=0.
处理s→1，distance =0.
处理s→2，distance=0.
处理其他边：
0→1：distance = min(0, 0 + (-5)) →-5.
0→2：distance = min(0, 0+2)=0.
1→2：distance = min(0, -5+3)= -2.
2→1：distance = min(-5, 0+1)= -5.
所以，在第一轮之后，distance=0，distance=-5，distance=-2.
第二轮松弛：
处理所有边：
s→0：distance 已经是0，没变化。
s→1：distance 是-5，比当前的s到1的0边权更小吗？不，因为s到1的边权是0，当前distance[s]是0，所以0+0=0，比现有的-5大，所以不更新。
同理，其他边：
比如，处理0→1：当前distance是0，所以0+(-5)= -5，而distance已经是-5，不更新。
0→2：0+2=2，distance是-2，更小，不更新.
处理1→2：distance是-5，-5+3= -2，distance当前是-2，不更新.
处理2→1：distance是-2，-2+1=-1，比当前distance的-5大，所以不更新.
其他边可能不会有变化。所以第二轮之后，没有变化。
第三轮松弛：
同样，处理所有边，但不会有任何更新。所以Bellman-Ford结束。此时，h值就是：
h=0，h=-5，h=-2.
接下来调整各边的权值：
对于原图中的每一条边u→v，权值为w(u→v)，新的权值^w(u→v) = w(u→v) + h[u] - h[v].
例如：
边0→1，原权-5：^w = -5 + h - h = -5 +0 - (-5) =0.
边0→2，原权2：^w=2+0 - (-2)=4.
边1→2，原权3：^w=3 + (-5) - (-2) =3-5+2=0.
边2→1，原权1：^w=1 + (-2) - (-5)=1-2+5=4.
这样所有新权值都是非负的。比如，0→1的^w是0，0→2的^w4，1→2的0，2→1的4。
然后，对于每个原节点u，运行Dijkstra算法计算到其他节点的最短路径，使用新权值。然后将这些距离转换回原来的权值：d(u,v) = d'(u,v) - h[u] + h[v].
比如，假设运行Dijkstra从0出发，得到到各节点的距离在^w下的值，比如到1的最短路径是0→1，^w0，距离0。到2可以是0→1→2，总^w0+0=0。所以d'(0,1)=0，d'(0,2)=0。那么原距离是0 - h+h =0 -0 + (-5) =-5？或者可能我弄反了？
Johnson算法中的调整是^w(u→v) = w(u→v) + h[u] - h[v]。而路径p的权值总和在调整后的图中为sum(^w) = sum(w + h[u]-h[v]) = sum(w) + h(p的起点) - h(p的终点)。所以，原路径的总权值sum(w) = sum(^w) - h(u) + h(v)。因此，在调整后的图中，从u到v的最短路径d'(u,v)等于原图中的d(u,v) + h(u) - h(v)。或者说，原图中的最短路径d(u,v) = d'(u,v) - h(u) + h(v)。这可能需要再仔细推导。
假设在调整后的图中，边权为w + h[u] - h[v]。那么，对于路径u→a→b→v，总权值为：
(w(u,a)+h(u)-h(a)) + (w(a,b)+h(a)-h(b)) ) + (w(b,v)+h(b)-h(v)) )
= w(u,a)+w(a,b)+w(b,v) + h(u) -h(v)
所以，总权值等于原路径权值总和 + h(u) - h(v). 因此，原路径权值为总权值 - h(u) + h(v).
所以，在调整后的图中，d'(u,v) = d(u,v) + h(u) - h(v). 因此，原d(u,v) = d'(u,v) - h(u) + h(v).
所以在得到d'(u,v)后，需要减去h(u)加上h(v)得到原权值。
现在，假设在调整后的图中，各边的权值都是非负的，所以可以运行Dijkstra算法。
现在回到原问题，用户要求给出计算出的h和^w值。所以对于假设的图，h的值是h=0，h=-5，h=-2，然后各边的^w值如上述例子。
那现在需要将这些步骤用Go语言实现，并且输出h和^w的值。代码的结构可能包括：
- 1. 定义图的边结构。
- 2. 添加新节点，运行Bellman-Ford计算h。
- 3. 调整边的权值得到^w。
- 4. 输出h和^w。
但具体实现可能比较复杂，因为需要处理图的表示，Bellman-Ford的实现，以及Dijkstra的部分。但用户的问题可能只要求计算h和^w，而不需要实际计算所有节点对的最短路径，所以可能代码只需要实现Bellman-Ford部分和调整权值部分。
现在，我需要将这些步骤转化为Go代码。例如：
首先，定义图的边：
type Edge struct {
from int
to int
weight int
}
然后，添加新节点（假设原节点是0,1,2，新节点s是3）。
然后运行Bellman-Ford：
初始化距离数组dist，其中dist[s] =0，其他为无穷大。
然后进行V-1次松弛，每次遍历所有边。
之后检查是否存在负权环。如果存在，则无法应用Johnson算法。
如果没有，则h数组即为dist中的值。
接着，调整各边的权值为原权值 + h[from] - h[to]。
需要注意的是，原图的边不包括新添加的s到原节点的边，所以在调整权值时只需要处理原图的边。
在代码中，需要将原图的边和新添加的边分开处理。Bellman-Ford时需要包含新添加的边，而调整权值时只需要处理原图的边。
所以，可能的步骤：
- o 输入原图的边列表。
- o 添加新节点s，并添加s到每个原节点的边，权为0。
- o 运行Bellman-Ford从s出发，得到每个原节点的h值。
- o 遍历原图的每条边，计算^w = weight + h[from] - h[to].
然后输出h和^w的值。
现在，我需要编写Go代码来实现这个过程。假设原图的节点为0,1,2，边如前面假设的：
edges := []Edge{
{from: 0, to: 1, weight: -5},
{from: 0, to: 2, weight: 2},
{from: 1, to: 2, weight: 3},
{from: 2, to: 1, weight: 1},
}
然后，添加新节点s=3，添加边：
for i := 0; i < 3; i++ {
edges = append(edges, Edge{from:3, to:i, weight:0})
}
然后运行Bellman-Ford：
nNodes := 4 // s is 3，原节点0、1、2
dist := make([]int, nNodes)
for i := range dist {
dist[i] = math.MaxInt32
}
dist = 0
// 松弛nNodes-1次，即4-1=3次
for i :=0; i <nNodes-1; i++{
updated := false
for _, e := range edges {
if dist[e.from] != math.MaxInt32 && dist[e.to] > dist[e.from] + e.weight {
dist[e.to] = dist[e.from] + e.weight
updated = true
}
}
if !updated {
break
}
}
// 检查负环
hasNegativeCycle := false
for _, e := range edges {
if dist[e.from] != math.MaxInt32 && dist[e.to] > dist[e.from] + e.weight {
hasNegativeCycle = true
break
}
}
if hasNegativeCycle {
fmt.Println("存在负权环，无法应用Johnson算法")
} else {
// h是原节点的dist值
h := dist[:3] // 原节点是0、1、2，对应索引0、1、2，而s是3
// 处理原图的边，计算^w
originalEdges := edges[:4] // 假设前四个是原图的边
for _, e := range originalEdges {
newW := e.weight + h[e.from] - h[e.to]
fmt.Printf("边 %d->%d 的^w值为 %d\n", e.from, e.to, newW)
}
}
这样代码是否正确？假设原边是前四个，之后添加的是s的边。在Bellman-Ford处理后，h的值是原节点的距离。
根据前面的例子，h=0，h=-5，h=-2。那么对于边0→1，原权-5，计算^w为-5 +0 - (-5)=0。其他边类似。
这样代码应该输出h的值和各个原边的^w值。
综上，用户的提问需要给出Johnson算法中的h和^w的计算，并且用Go语言编写代码。因此，我需要将这些步骤整合成一个回答，先描述算法步骤，然后给出示例计算，最后提供对应的Go代码。
Johnson算法通过重新赋予权重来消除负权边，从而允许使用Dijkstra算法高效计算所有节点对的最短路径。以下是算法的关键步骤和示例计算：
算法步骤：
- 1. 添加虚拟节点：引入新节点s，并添加s到所有原节点的边（权重为0）。
- 2. 计算h值：用Bellman-Ford算法计算s到各节点的最短路径距离，这些距离即为h值。
- 3. 调整边权：对原图中的每条边(u→v)，计算新权重^w(u→v) = w(u→v) + h[u] - h[v]（确保非负）。
- 4. 计算最短路径：对每个节点使用Dijkstra算法计算调整后的最短路径，最终结果需还原为原权重。
示例计算（假设原图）：
- o 节点：0, 1, 2
- o 原边：
- o 0→1 (-5)
- o 0→2 (2)
- o 1→2 (3)
- o 2→1 (1)
步骤解析：
- 1. Bellman-Ford计算h值：
- o h = 0, h = -5, h = -2
- o 0→1: -5 + 0 - (-5) = 0
- o 0→2: 2 + 0 - (-2) = 4
- o 1→2: 3 + (-5) - (-2) = 0
- o 2→1: 1 + (-2) - (-5) = 4
Go代码实现：
package main
import (
"fmt"
"math"
)
type Edge struct {
from int
to int
weight int
}
func main() {
// 原图边
originalEdges := []Edge{
{0, 1, -5},
{0, 2, 2},
{1, 2, 3},
{2, 1, 1},
}
// 添加虚拟节点s（编号为3）到原图的边
edges := make([]Edge, len(originalEdges))
copy(edges, originalEdges)
for i := 0; i < 3; i++ { // 原节点0,1,2
edges = append(edges, Edge{3, i, 0})
}
// Bellman-Ford计算h
n := 4 // 节点总数（原3个 + 虚拟节点）
dist := make([]int, n)
for i := range dist {
dist[i] = math.MaxInt32
}
dist[3] = 0 // 虚拟节点s为起点
// 松弛操作
for i := 0; i < n-1 i updated :='false' for _ e :='range' edges if diste.from diste.to> dist[e.from]+e.weight {
dist[e.to] = dist[e.from] + e.weight
updated = true
}
}
if !updated {
break
}
}
// 检查负环
hasNegativeCycle := false
for _, e := range edges {
if dist[e.from] != math.MaxInt32 && dist[e.to] > dist[e.from]+e.weight {
hasNegativeCycle = true
break
}
}
if hasNegativeCycle {
fmt.Println("存在负权环，无法应用Johnson算法")
return
}
// 输出h值（原节点的h）
h := dist[:3]
fmt.Println("h值：")
for i, v := range h {
fmt.Printf("h[%d] = %d\n", i, v)
}
// 计算并输出调整后的^w
fmt.Println("\n调整后的边权^w：")
for _, e := range originalEdges {
newW := e.weight + h[e.from] - h[e.to]
fmt.Printf("边 %d→%d: ^w = %d\n", e.from, e.to, newW)
}
}输出示例：
h值：
h[0] = 0
h[1] = -5
h[2] = -2
调整后的边权^w：
边 0→1: ^w = 0
边 0→2: ^w = 4
边 1→2: ^w = 0
边 2→1: ^w = 4代码说明：
- 1. 数据结构：使用Edge结构体表示图的边。
- 2. Bellman-Ford实现：计算虚拟节点到所有原节点的最短路径得到h值。
- 3. 权重调整：遍历原图边，根据h值计算新权重^w，确保非负。
- 4. 输出结果：展示h值和调整后的各边权重^w。
kimi：
为了使用Johnson算法找到所有结点对之间的最短路径，我们需要按照以下步骤进行：
添加一个新结点：在原图中添加一个新结点，该结点与所有其他结点相连，边的权重为0。
运行Bellman-Ford算法：从新添加的结点出发，运行Bellman-Ford算法，计算从该结点到所有其他结点的最短路径。如果存在负权重环，则算法失败。
计算h值：Bellman-Ford算法计算出的从新结点到每个结点的最短路径长度即为h值。
计算w值：对于原图中的每条边(u,v)，计算w(u,v)=w(u,v)+h(u)-h(v)，其中w(u,v)是原图中边(u,v)的权重。
运行Dijkstra算法：对于每个结点，使用w值作为边的权重，运行Dijkstra算法，计算从该结点到所有其他结点的最短路径。
恢复最短路径：使用h值恢复原图中的最短路径长度。
由于题目中没有给出具体的图25-2，我将使用一个示例图来说明Johnson算法的步骤。假设我们有以下图：
复制
A --1-- B --2-- C
\ | /
\ | /
\ | /
\ | /
\ | /
\ | /
D
边的权重如下：
w(A,B)=1
w(B,C)=2
w(C,D)=-1
w(D,A)=4
w(D,B)=1
w(D,C)=2
步骤1：添加新结点
添加新结点S，并连接到所有其他结点，权重为0。
步骤2：运行Bellman-Ford算法
从S出发，运行Bellman-Ford算法：
h(S)=0
h(A)=0
h(B)=0
h(C)=0
h(D)=0
步骤3：计算h值
h值即为Bellman-Ford算法计算出的最短路径长度：
h(A)=0
h(B)=0
h(C)=0
h(D)=0
步骤4：计算w值
计算w(u,v)=w(u,v)+h(u)-h(v)：
w(A,B)=1+0-0=1
w(B,C)=2+0-0=2
w(C,D)=-1+0-0=-1
w(D,A)=4+0-0=4
w(D,B)=1+0-0=1
w(D,C)=2+0-0=2
步骤5：运行Dijkstra算法
对于每个结点，使用w值作为边的权重，运行Dijkstra算法：
从A出发：
d(A,A)=0
d(A,B)=1
d(A,C)=3
d(A,D)=2
从B出发：
d(B,A)=4
d(B,B)=0
d(B,C)=2
d(B,D)=1
从C出发：
d(C,A)=5
d(C,B)=3
d(C,C)=0
d(C,D)=-1
从D出发：
d(D,A)=4
d(D,B)=1
d(D,C)=2
d(D,D)=0
步骤6：恢复最短路径
使用h值恢复原图中的最短路径长度：
d(A,B)=1
d(A,C)=3
d(A,D)=2
d(B,A)=4
d(B,C)=2
d(B,D)=1
d(C,A)=5
d(C,B)=3
d(C,D)=-1
d(D,A)=4
d(D,B)=1
d(D,C)=2
最终答案
h值和w值如下：
h(A)=0
h(B)=0
h(C)=0
h(D)=0
w(A,B)=1
w(B,C)=2
w(C,D)=-1
w(D,A)=4
w(D,B)=1
w(D,C)=2
所有结点对之间的最短路径长度如下：
d(A,B)=1
d(A,C)=3
d(A,D)=2
d(B,A)=4
d(B,C)=2
d(B,D)=1
d(C,A)=5
d(C,B)=3
d(C,D)=-1
d(D,A)=4
d(D,B)=1
d(D,C)=2
\boxed{h(A) = 0, h(B) = 0, h(C) = 0, h(D) = 0, \widehat{w}(A, B) = 1, \widehat{w}(B, C) = 2, \widehat{w}(C, D) = -1, \widehat{w}(D, A) = 4, \widehat{w}(D, B) = 1, \widehat{w}(D, C) = 2}
腾讯元宝：
由于我无法直接查看图25-2，我将提供一个通用的Johnson算法实现，并解释如何计算和值
Johnson算法是一种求解所有结点对之间最短路径的方法，它结合了Bellman-Ford算法和Dijkstra算法。以下是Johnson算法的Go语言实现：
package main
import (
"container/heap"
"fmt"
"math"
)
type Edge struct {
from, to, weight int
}
type Graph struct {
nodes [][]Edge
}
func NewGraph(n int) *Graph {
graph := make([][]Edge, n)
return &Graph{nodes: graph}
}
func (g *Graph) AddEdge(from, to, weight int) {
g.nodes[from] = append(g.nodes[from], Edge{from, to, weight})
}
func bellmanFord(g *Graph, source int) ([]int, []int) {
dist := make([]int, len(g.nodes))
pred := make([]int, len(g.nodes))
for i := range dist {
dist[i] = math.MaxInt32
pred[i] = -1
}
dist[source] = 0
for i := 0; i < len(g.nodes)-1; i++ {
for _, edge := range g.nodes[source] {
if dist[edge.from]+edge.weight < distedge.to distedge.to='dist[edge.from]' edge.weight prededge.to='edge.from' source return dist pred func dijkstrag graph source int int int dist :='make([]int,' leng.nodes pred :='make([]int,' leng.nodes visited :='make([]bool,' leng.nodes for i :='range' dist disti='math.MaxInt32' predi='-1' distsource='0' pq :='&PriorityQueue{}' heap.initpq heap.pushpq itemnode: source priority: 0 for pq.len> 0 {
u := heap.Pop(pq).(*Item).node
if visited[u] {
continue
}
visited[u] = true
for _, edge := range g.nodes[u] {
v := edge.to
alt := dist[u] + edge.weight
if alt < dist[v] {
dist[v] = alt
pred[v] = u
heap.Push(pq, &Item{node: v, priority: alt})
}
}
}
return dist, pred
}
func johnson(g *Graph) ([][]int, []int) {
// Add a new vertex with zero-weight edges to all other vertices
newNode := len(g.nodes)
g.nodes = append(g.nodes, make([]Edge, len(g.nodes)))
for i := range g.nodes[:newNode] {
g.nodes[newNode] = append(g.nodes[newNode], Edge{newNode, i, 0})
}
// Run Bellman-Ford algorithm from the new vertex
h, _ := bellmanFord(g, newNode)
// Reweight the edges
for u := range g.nodes {
for _, edge := range g.nodes[u] {
edge.weight = edge.weight + h[u] - h[edge.to]
}
}
// Remove the added vertex and run Dijkstra's algorithm for each vertex
g.nodes = g.nodes[:newNode]
allPairsShortestPaths := make([][]int, len(g.nodes))
for i := range allPairsShortestPaths {
dist, _ := dijkstra(g, i)
for j := range dist {
dist[j] = dist[j] - h[i] + h[j]
}
allPairsShortestPaths[i] = dist
}
return allPairsShortestPaths, h
}
func main() {
g := NewGraph(3)
g.AddEdge(0, 1, -1)
g.AddEdge(0, 2, 4)
g.AddEdge(1, 2, 3)
g.AddEdge(1, 0, 2)
g.AddEdge(2, 1, -2)
allPairsShortestPaths, h := johnson(g)
fmt.Println("h values:", h)
fmt.Println("All pairs shortest paths:", allPairsShortestPaths)
}在这个实现中，bellmanFord函数计算了从新添加的顶点到所有其他顶点的最短路径，这些路径值存储在h数组中。然后，我们重新加权图中所有边的权重，使用公式。最后，我们移除新添加的顶点，并对每个顶点运行Dijkstra算法来找到所有结点对之间的最短路径。这些路径在allPairsShortestPaths数组中返回，而值在h数组中返回。
请注意，这个实现假设图中没有负权重环。如果在运行Bellman-Ford算法后检测到负权重环，算法将无法正确工作。