数学的“有史以来最古老的问题”得到了新的答案

一项新的证明显着加强了几十年前关于将整数表示为分数和的方法无处不在的结果。

数字 1 可以写成不同单位分数的总和，例如1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 12 + 1 / 18 + 1 / 36。一位数学家已经证明，只要一组整数包含足够大的数轴片段，它就必须包含一些其倒数加为 1 的数字子集。

数论者是一直在寻找隐藏的结构。当面对一个似乎不可避免的数字模式时，他们会考验它的勇气，努力——但往往失败——设计出不能出现给定模式的情况。

牛津大学的托马斯·布鲁姆（ Thomas Bloom ）证明了这种模式的弹性的最新结果之一，回答了一个可以追溯到古埃及的问题。

“这可能是有史以来最古老的问题，”达特茅斯学院的Carl Pomerance说。

该问题涉及分子中以 1 为特征的分数，例如 1/2、1/7 或 1/122。这些“单位分数”对古埃及人来说尤其重要，因为它们是他们的数字系统所包含的唯一分数类型。除了 2/3 的单个符号外，它们只能将更复杂的分数（如 3/4）表示为单位分数的总和（1/2 + 1/4）。

在 1970 年代，现代人对这些和的兴趣得到了提升，当时 Paul Erd"os 和 Ronald Graham 询问设计不包含倒数加为 1 的子集的整数集可能有多么困难。例如，集合 {2, 3, 6, 9, 13} 未通过此测试：它包含子集 {2, 3, 6}，其倒数是单位分数 1/2、1/3 和 1/6 — 总和为1.

更准确地说，Erd"os 和 Graham 推测，任何对整数中足够大的正比例进行采样的集合（可能是 20% 或 1% 或 0.001%）都必须包含一个倒数加为 1 的子集。如果初始集合满足采样足够整数的简单条件（称为“正密度”），那么即使故意选择其成员以使其难以找到该子集，该子集仍然必须存在。

蒙特利尔大学的安德鲁·格兰维尔说：“我只是认为这是一个不可能的问题，他们头脑正常的人不可能做到。” “我没有看到任何明显的工具可以攻击它。”

Bloom 参与 Erd"os 和 Graham 的问题源于一项家庭作业：去年 9 月，他被要求向牛津的一个阅读小组提交一份 20 年前的论文。

那篇论文由一位名叫Ernie Croot的数学家撰写，解决了所谓的 Erd"os-Graham 问题的着色版本。在那里，整数被随机分类到用颜色指定的不同桶中：一些放在蓝色桶中，另一些放在红色桶中，依此类推。Erd"os 和 Graham 预测，无论在这种排序中使用了多少不同的桶，至少一个桶必须包含倒数和为 1 的整数子集。

克罗特从谐波分析（与微积分密切相关的数学分支）中引入了强大的新方法，以证实 Erd"os-Graham 的预测。他的论文发表在该领域的顶级期刊《数学年鉴》上。

“Croot 的论点读起来很有趣，”乔治亚大学的Giorgis Petridis说。“它需要创造力、独创性和大量的技术实力。”

然而，尽管 Croot 的论文令人印象深刻，但它无法回答 Erd"os-Graham 猜想的密度版本。这是因为 Croot 利用了桶分类公式中提供的便利，但密度公式中没有。

被称为 Rhind Papyrus 的数学卷轴可以追溯到公元前 1650 年左右，它展示了古埃及人如何将有理数表示为单位分数的总和。